Флексагон (от англ. to flekx, что означает, «складываться, гнуться»), т.е. флексагон гнущийся многоугольник. Он обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму и цвет. Флексагоны – это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу. Если бы не одно случайное обстоятельство - различие в формате английских и американских блокнотов, - флексатоны, возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия и зучать их замысловатую структуру.

1.   История флексагонов.

         Своему появлению флексагоны обязаны, как уже говорилось, различию в форматах английских и американских блокнотов. Это случилось в конце 1939 года, когда Артур Х. Стоун, аспирант из Англии, изучавший в Принстоне математику, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, он стал складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур - правильный шестиугольник - оказалась особенно интересной: она имела три поверхности, только две из которых были видны. Перегнув же шестиугольник определённым образом, можно было увидеть и третью сторону. Позже его назвали тригексафлексагоном («три» - число поверхностей, «гекса» - число углов). Поразмыслив над этим ночью, наутро Стоун убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений. Оказалось, что можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трёх. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексатона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон - аж 82 способами… Таккерман довольно быстро нашёл простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: нужно держать его за какой-либо угол и открывать до тех пор, пока он не перестанет раскрываться, и лишь затем переходить к следующему углу. Этот метод, известен как «путь Таккермана»; его удобно изображать в виде схемы. Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Она в частности указывает точный способ построения флексагонов с любым числом сторон, причём именно той разновидности, которая требуется. Тетрафлексагоны были открыты, по крайней мере, на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур X. Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок. Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» – устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и во многих детских игрушках. Также флексагоны натолкнули на идею создания фильма и т.д.

2.   Гексафлексагоны

(Hexaflexagons)

         Как уже было сказано, исторически первым был придуман тригексафлексагон – простейший из семейства гексафлексагонов (если не считать двух первых гексафлексагонов; они рассматриваются далее и не являются полноценными флексагонами, т.к. не складываются). Вторым появился также несложный и потому, пожалуй, наиболее интересный гексагексафлексагон.

Унагексафлексагон

         Этот простейший гексафлексагон представляет собой лист Мёбиуса с треугольным краем. Он имеет одну поверхность и состоит из шести треугольников, поэтому его и можно назвать унагексафлексагоном, несмотря на то, что он не имеет шести сторон и не складывается. Поэтому он интересен лишь как иллюстрация топологии Мёбиуса, а не как представитель класса флексагонов.

Дуогексафлексагон

         Дуогексафлексагон – обыкновенный плоский шестиугольник, вырезанный из бумаги (или другого материала). Он, разумеется, также не складывается и особого интереса не представляет.

Тригексафлексагон

         Первый «настоящий» гексафлексагон. Существует только одна его разновидность. Тригексафлексагон – сплющенный в шестиугольник лист Мёбиуса. На рисунке 2 показано, как его складывать.

Тетрагексафлексагон

         Также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски.

Пентагексафлексагон

            Единственную разновидность этого флексагона складывают из и-образной полоски бумаги.

Гексагексафлексагон

         Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из которых обладает неповторимыми свойствами. На рисунке 3 приведено описание самой простой формы, а также формы полосок, из которых можно сложить остальные.

Гептагексафлексагон

         Таких флексагонов существует четыре типа. Один из них складывают из полоски бумаги с перекрывающимися частями, имеющей вид восьмёрки. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал «флексагонными улицами»: их поверхности можно пронумеровать так, чтобы на «пути Таккермана» они встречались по порядку номеров, как дома на улице.

Рис.2. Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников (а). Полоску перегибают по линии ab и переворачивают (б). Перегнув полоску еще раз по линии сd расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался вложенным на первый (в). Последний треугольник нужно подогнуть вниз и прикрепить к оборотной стороне первого треугольника (г). Как сгибать триифлексагон, показано на рис. 3. Развертку трифлексагона нужно перечертить вырезать из полоски достаточно плотной бумаги шириной около 3–4 см.

         Гексафлексагон: "гекса" - из-за их шестиугольной формы (От греческого "гекс", что означает шесть.), «флексагонами» - из-за их способности складываться (to flex [англ.] – складываться, сгибаться, гнуться.). Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагоном, так как у него были три поверхности. Вторая не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое "гекса" - шесть - также означает число поверхностей этой модели).

         Чтобы сложить гексагексафлексагон, берут полоску бумаги (великолепным материалом для изготовления гексагексафлексагонов может служить лента от кассовых аппаратов), разделенную на 19 равносторонних треугольников (рис.3). В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на рис. 2 порядке цифры 1, 2, 3. Девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным. Треугольники на обратной стороне следует в соответствии со схемой на рис. 3 пронумеровать цифрами 4, 5, 6. После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга - 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка гексагексафлексагона, показанная на рис. 2, б. Перегнув ее по линиям ab и cd (рис. 3,в), получим шестиугольник. Остается лишь подвернуть вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.

Рис.3.             Гексагексафлексагоны складывают из полоски бумаги, разделенной на 19 равносторонних треугольников (а), треугольники на одной стороне полоски обозначены цифрами 1, 2, 3; треугольники на другой стороне - цифрами 4, 5, 6.Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет или нарисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру). Как складывать полоску, ясно из рисунка. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов.

Рис.4.    Чтобы «открыть» тригексафлексагон, его нужно одной рукой взять за два соседних треугольника примыкающих к какой-нибудь вершине шестиугольника, а другой рукой потянуть за свободный край двух противоположных шестиугольников. Если флексагон не открывается, нужно попробовать ухватить его за два других треугольника. При псрывании шестиугольник выворачивается наизнанку, и наружу выходит поверхность, которая ранее скрывалась внутри.

3.   Тетрафлексагоны.

         В тесном родстве с гексафлексагонами находится множество игрушек, имеющих форму четырехугольника. Они известны под общим именем тетрафлексагонов. Простейший тетрафлексагон имеет три поверхности и поэтому называется тритетрафлексагоном. Более интересен гексатетрафлексагон, который можно сгибать вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Для его построения нужно взять полоску бумаги, вырезанную в виде квадратной рамки, разграфить на квадраты и пронумеровать так, как показано на рисунке. После этого полоску бумаги надо перегнуть вдоль всех прямых, которые отделяют друг от друга соседние квадраты. Сгибы должны быть обращены острием вниз:

                Наметив все линии сгиба, полоску нужно разгладить и вновь перегнуть вдоль прямых, указанных стрелками не рис. (а). Перевернем полоску и перегнем вдоль прямых, указанных стрелками на рис. (в). Заправим квадрат с цифрой 3 под квадрат с цифрой 2. В результате все четыре верхних квадрата окажутся помеченными цифрами 2. К левому верхнему квадрату с цифрой 2 приклеим прозрачную ленту, а другой конец ленты приклеим к квадрату с цифрой 1, который находится с обратной стороны флексагона.

4.   Применение флексагонов.

         Флексагоны не так уж и распространены в современной науке и технике. Но даже такие объекты как флексагоны, причем всех разновидностей нашли свое применение в некоторых художественных областях. Флексагоны выступают в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон. Но однажды я случайно наткнулся на еще один необычный способ применения этих экстраординарных тел. Лично я даже не мог предположить, что кроме как в качестве игрушек они где-то еще применяются. Но смотрите сами.